从e的极限定义开始：
我们把它看成是r和s两个变量的实函数，用有理数r/s替换整数n。
r与s的比值越大，对e的近似就越好。
这个表达式可以用子函数f(x)替换r，用子函数g(x)替换s，从而把它重新定义为单变量复合函数。如果f(x)和g(x)是单调的和发散的，并且
那么：
现在，如果我们用适当的三角函数赋值f(x)和g(x)，例如，我们可以设f(x)=cos(θ)，g(x)=sin(θ)。当θ趋于π时，cos(θ)趋于-1，sin(θ)趋于0。虽然函数在θ=π处没有定义，但我们发现：
为了评估这类表达式的相对收敛速度，我们可以通过将θ替换为π 1/x，然后计算当x趋于无穷时的表达式，从而得到它们各自的幂级数。在这种情况下，当θ向右接近π时，我们有一个一阶近似：
输入π的前32位：
3.1415926535897932384626433832795
得到e的前32位：
2.7182818284590452353602874713526
- cot(θ）函数图
现在我们看看让函数f(x)=cot(θ)，g(x)=tan(θ)会发生什么。当θ向右趋于π时，cot(θ)趋于负无穷，tan(θ)趋于0。当θ向左趋于π时，cot(θ)趋于正无穷，tan(θ)趋于0。将这些函数代入，并使用三角恒等式：
从左接近π，得到一个二阶近似：
输入π的前32位：
3.1415926535897932384626433832795
得到e的前64位：
2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627
下面的一阶表达式有一个有趣的性质，它除了收敛于e之外（ θ π时），在5π/4处收敛于根号2，在3π/2处收敛于1。
- 三维散点图显示了7π/4 < θ < 11π/4的虚分量。复区域的模量在θ 2π时趋近于e。它在θ = 3π/4处无定义，在θ = 7π/4在π和2π处有可移奇点。
另外，三角函数替换并不是唯一方法。例如，只需稍加操作，我们就可以得到这个无限乘积：
当然，用π来计算数字e不是很实用。如果有笔和纸，那么用无穷级数会容易得多。尽管如此，这些表达式在几个世纪以来一直令数学家着迷，两个数字之间竟有一种意想不到的联系。
